КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
ВАРІАНТ №1
ЗАДАЧА 1.
Із коробки, в якій 9 білих, 5 чорних та 6 кольорових котушок, навмання виймають 3 котушки. Знайти ймовірність того, що серед них будуть:
а) всі білі;
б) одна біла та дві чорні;
в) одна біла, одна чорна та одна кольорова.
РІШЕННЯ:
а) потрібно знайти ймовірність того, що з 20 котушок різних кольорів навмання 3 (три) вийняті котушки будуть білими.
Нехай:
n – загальне число ймовірних випадків вилучення 3 котушок з коробки;
m – число сприятливих випадків (всі три котушки – білі).
б) потрібно знайти ймовірність того, що з 20 котушок різних кольорів навмання 3 (три) вийняті котушки будуть одна біла та дві чорні.
Нехай:
n – загальне число ймовірних випадків вилучення 3 котушок з коробки;
m – число сприятливих випадків (одна біла та дві чорні).
в) потрібно знайти ймовірність того, що з 20 котушок різних кольорів навмання 3 (три) вийняті котушки будуть одна біла, одна чорна та одна кольорова.
Нехай:
n – загальне число ймовірних випадків вилучення 3 котушок з коробки;
m – число сприятливих випадків (одна біла, одна чорна та одна кольорова).
ВІДПОВІДЬ: ; ;
ЗАДАЧА 11.
У цеху три верстати. Ймовірність відмови І-го дорівнює 0,1; ІІ-го - 0,2; ІІІ-го – 0,1. Обчислити ймовірність роботи:
а) всіх верстатів;
б) двох верстатів.
РІШЕННЯ:
Робота верстату є подія протилежна його відмові.
Ймовірність роботи верстатів будуть:
Ймовірність роботи:
а) всіх верстатів дорівнює:
б) двох верстатів.
Тут вірогідно кілька випадків:
робота І-го та ІІ-го верстатів:
робота І-го та ІІІ-го верстатів:
робота ІІ-го та ІІІ-го верстатів:
ВІДПОВІДЬ: Ймовірність роботи трьох верстатів – 0,65; ймовірність роботи двох верстатів – 0,72; 0,81 в залежності від номеру верстатів.
ЗАДАЧА 31
В магазин з першого заводу поступило 200 електролампочок, з другого – 150, а з третього – 250. Ймовірність того, що електролампочка відпрацює необхідну кількість годин для першого заводу дорівнює 0,9, для другого – 0,8 та для третього – 0,7. Знайти ймовірність того, що куплена в магазині електролампочка відпрацює задану кількість годин.
РІШЕННЯ:
Нехай подія А - навмання куплена у магазині електролампочка відпрацює задану кількість годин.
Ця подія може відбутися за умови реалізації однієї з гіпотез:
Н1 – продукція надійшла з I заводу;
Н2 – продукція надійшла з II заводу;
Н3 – продукція надійшла з III заводу.
У відсотковому співвідношенні товару, який поступив в магазин:
33,3% - поступило з І заводу;
25% - поступило з ІІ заводу;
41,7% - поступило з ІІІ заводу.
Ці гіпотези утворюють повну групу подій і їх ймовірності дорівнюють:
Р(Н1) = 0,33
Р(Н2) = 0,25
Р(Н3) = 0,42
Відповідні умовні ймовірності дорівнюють:
РН1(А) = 0,9
РН2(А) = 0,8
РН3(А) = 0,7
За формулою повної ймовірності маємо:
Р(А) = Р(Н1) х РН1(А) + Р(Н2) х РН2(А) + Р(Н3) х РН3(А) =
= 0,33 х 0,9 + 0,25 х 0,8 + 0,42 х 0,7 = 0,3 + 0,2 + 0,29 = 0,79
ВІДПОВІДЬ: Р(А) = 0,79
ЗАДАЧА 41.
Побудувати закон розподілу випадкового числа роботи верстатів, якщо робітник обслуговує чотири верстати, а ймовірність роботи кожного дорівнює 0,9. Обчислити Д(Х).
РІШЕННЯ.
Запишемо розподіл випадкового числа роботи верстатів у вигляді таблиці:
хі
1
2
3
4
Р(хі)
0,9
0,81
0,73
0,65
Спочатку знайдемо математичне сподівання цих величин.
М(Х) = 0,9 + 2 ( 0,81 + 3 ( 0,73 + 4 ( 0,65 = 0,9 + 1,62 + 2,19 + 2,6 = 7,31
Д(Х) = М(Х2) – М2(Х)
М2(Х) = (7,31)2 = 53,4
М(Х2) = 0,9 + 4 ( 0,81 + 9 ( 0,73 + 16 ( 0,65 = 0,9 + 3,24 + 6,57 + 10,4 = 21,11
Задача 51.
Дано функцію F(x) розподілу ймовірності випадкової величини Х. Знайти М(Х), ((Х) та побудувати графіки функцій F(x), f(x).
РІШЕННЯ:
Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)
F(x)
0 1 3 x
Рис.1
Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):
0, x ( 1
f(x) = 0,25x; 1 ( x ( 3
...
